Posts Issued on May 19, 2019

posted by sakurai on May 19, 2019

米国ロチェスター大学の資料によれば、 ランダムプロセス$\eta_t$において、ステート空間を$i, j=0,1,2,...,\in\mathcal{E}$について、以下の式を満足する場合に、ランダムプロセス$\eta_t$は連続時間マルコフ連鎖(CTMC)となります。 $$ \Pr\{\eta_{(t+s)}\in j\ |\ \eta_t\in i, \eta_u\in x_u, u\lt t\}=\Pr\{\eta_{(t+s)}\in j\ |\ \eta_t\in i\} $$ 遷移する確率が、過去の時刻$u$での状態に依存せず、現在時刻$t$での状態にのみ依存することを表します。

CTMCである$\eta_t$において、ステートiからjへの瞬間遷移確率関数(Instantanous Transition Probability Function)$P_{ij}$の式は以下のようになります。ただし、元の式を「信頼性関係式の定義式の表現」で導入した記法に変更しています。 $$ P_{ij}(t):=\Pr\{\eta_{(t+dt)}\in\mathcal{j}\ |\ \eta_{t}\in\mathcal{i}\}=q_{ij}dt+o(dt)\tag{102.1} $$ $q_{ij}$は遷移率(Transition Rate)です。ランダムプロセス$\eta_t$において、確率変数$X$を無故障稼働時間とします。$\mathcal{M}$を稼働状態のサブセットとし、$\mathcal{P}$を不稼働状態のサブセットとすれば、$X=\inf\{t:\eta_{t}\in\mathcal{P}\}$と示すことができます。

稼働状態$\mathcal{M}$から不稼働状態$\mathcal{P}$への遷移を考えると、(102.1)は、 $$ P_{\mathcal{MP}}(t)=\Pr\{\eta_{(t+dt)}\in\mathcal{P}\ |\ \eta_{t}\in\mathcal{M}\}=q_{\mathcal{MP}}dt+o(dt)\tag{102.2} $$ となりますが、これと前記事の微小ダウン確率形式と比較し、 $$ \Pr\{\eta_{(t+dt)}\in\mathcal{P}\ |\ \eta_{t}\in\mathcal{M}\}=q_{\mathcal{MP}}dt+o(dt)=\varphi(t)dt\tag{102.3} $$ すなわち、単位時間あたりの稼働状態$\mathcal{M}$から不稼働状態$\mathcal{P}$への遷移率$q(t)$は、$o(dt)\approx 0$の場合のダウン率$\varphi(t)$にほかなりません。逆に言えば、ダウン率$\varphi(t)$は稼働状態$\mathcal{M}$から不稼働状態$\mathcal{P}$への、単位時間当たりの遷移率となります。

ここで、条件付き確率の式から(102.3)の両辺に状態確率$\Pr\{\eta_{t}\in\mathcal{M}\}$をかけると$PUD$が求まります。$PUD$について、$0$から$T_{lifetime}$まで$t$で積分し(102.2)を用いれば、 $$ \int_0^{T_{lifetime}}P_{\mathcal{MP}}(t)dt =\int_0^{T_{lifetime}}\Pr\{\eta_{(t+dt)}\in\mathcal{P}\ |\ \eta_{t}\in\mathcal{M}\}\Pr\{\eta_{t}\in\mathcal{M}\}\\ =\int_0^{T_{lifetime}}\Pr\lbrace\eta_{(t+dt)}\in\mathcal{P}\cap \eta_{t}\in\mathcal{M}\rbrace=\int_0^{T_{lifetime}}q(t)dt =Q({T_{lifetime}})\tag{102.4} $$ これより、SPFとなる平均PUDを、前記事の平均PUDを参考にし(102.4)の両辺を$T_{lifetime}$で割って$\overline{\varphi_{\mathrm{SPF}}}$で表せば、 $$ \overline{\varphi_{\mathrm{SPF}}}=\frac{1}{T_{lifetime}}Q({T_{lifetime}})=\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}\Pr\{\eta_{(t+dt)}\in\mathcal{P}\ |\ \eta_{t}\in\mathcal{M}\}\Pr\{\eta_{t}\in\mathcal{M}\}\\ =\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} \tag{102.5} $$ これにより、CTMCの平均PUDを求める基本式が求まりました。

弊社ではPMHFに関する論文をRAMS 2020に投稿中であり、そのため、最新の研究#103~108を一旦非開示としました。2019年10月中に採択の決定が行われる予定であり、その後に開示する予定です。


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