4.2.1 IFが先に故障する場合

ひとつずつ確率を求めます。まず(988.5)を用いると式(988.6)の第1項は $$ \Pr\{\overline{\text{IF}}\ \vec{\cap}\ \overline{\text{SM}}\cap\text{DC}\}=\Pr\{\overline{\text{IF}}\cap\overline{\text{SM}}\cap\text{DC}\cap(T_\text{IF}\lt T_\text{SM})\}\\ =\Pr\{\overline{\text{IF}}\cap\overline{\text{SM}}\}\cdot\text{DC}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\text{DC}\Pr\{\overline{\text{SM}}\ |\ \overline{\text{IF}}\}\Pr\{\overline{\text{IF}}\} \tag{989.1}\label{eq:989-1} $$ \eqref{eq:989-1}はIFの故障が起き、カバレージ範囲内なので通常はSMでFTTI中にカバーされるものの、さらにFTTI中にSMが故障するDPFの確率を表します。

• IFの暴露時間と故障率
  IFの暴露時間は車両寿命であり、故障確率は(988.2)から$\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime}$となります。 $$ \Pr\{\overline{\text{IF}}\}\approx\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime}\tag{989.2}\label{eq:989-2} $$

• SMの暴露時間と故障率
  SMの暴露時間は上記からFTTI未満でありゼロとみなせます。 $$ \Pr\{\overline{\text{SM}}\ |\ \overline{\text{IF}}\}\tag{989.3}\approx0\label{eq:989-3} $$ 従って\eqref{eq:989-1}の値は0となります。

4.2.2 SMが先に故障する場合

次に式(988.6)の第2項は $$ \Pr\{\overline{\text{SM}}\ \vec{\cap}\ \overline{\text{IF}}\cap\text{DC}\}=\Pr\{\overline{\text{SM}}\cap\overline{\text{IF}}\cap\text{DC}\cap(T_\text{SM}\lt T_\text{IF})\}\\ =\Pr\{\overline{\text{IF}}\cap\overline{\text{SM}}\}\cdot\text{DC}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\text{DC}\Pr\{\overline{\text{IF}}\ |\ \overline{\text{SM}}\}\Pr\{\overline{\text{SM}}\}\\ \tag{989.4}\label{eq:989-4} $$

• SMの暴露時間と故障率
  SMのフォールトの暴露時間は以下のように場合分けが必要です。

• 2nd SMがカバーできずに露出時間が車両寿命となる場合、もしくは
• 2nd SMがカバーできるが露出時間が検査周期となる場合

よって、 $$ \Pr\{\overline{\text{SM}}\} =\Pr\{\overline{\text{SM}}\cap\overline{\text{DC2}}\}+\Pr\{\overline{\text{SM}}\cap\text{DC2}\}\\ =\Pr\{\overline{\text{DC2}}\}\Pr\{\overline{\text{SM}}\}+\Pr\{\text{DC2}\}\Pr\{\overline{\text{SM}}\}\\ =(1-\text{DC2})\int_0^{T_\text{lifetime}}f_\text{SM}(t)dt+\text{DC2}\int_0^{\tau}f_\text{SM}(t)dt\\ =(1-\text{DC2})F_\text{SM}(T_\text{lifetime})+\text{DC2}F_\text{SM}(\tau)\\ \approx(1-\text{DC2})\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}+\text{DC2}\lambda_\text{SM}\tau \tag{989.5}\label{eq:989-5} $$

• IFの暴露時間と故障率
  IFのフォールト事象の暴露時間はSMのフォールトとは独立であることから車両寿命となり、故障確率は(988.2)から$\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime}$となります。 $$ \Pr\{\overline{\text{IF}}\ |\ \overline{\text{SM}}\}=\Pr\{\overline{\text{IF}}\}\approx\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime}\tag{989.6}\label{eq:989-6} $$ 従って\eqref{eq:989-4}の値は\eqref{eq:989-7}となります。 $$ \eqref{eq:989-4}\approx\frac{1}{2}\text{DC}\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime}\left[(1-\text{DC2})\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}+\text{DC2}\lambda_\text{SM}\tau\right]\tag{989.7}\label{eq:989-7} $$

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