前記事#875のChatGPTの話す内容が数学的に若干おかしかったので、手動で修正しました。以下はChatGPTの出力を適宜修正したものです。

連続修理の場合：

稼働度$A(t)$は以下の式で表されます：

$$ A(t)=R(t)+\int_{0}^{t}m(x)\cdot R(t - x)\,dx $$

ここで、$R(t)$は時刻$t$での信頼度、$m(x)$は時刻$x$でのリニューアル密度です。$R(t-x)$は時刻$x$でリニューアルしたものが時刻$t$まで一度も故障しない確率です。

周期$\tau$の定期修理PIRの場合:

周期$\tau$のPIR(Periodic inspection and repair)戦略下では、修理が周期的に時刻$x=i\tau^-$($i=1,2,\dots,n$)で行われるため、この方程式は離散系となり次の式で表されます。

$$ A(t)=R(t)+\sum_{i=1}^{n}M(i\tau^-)\cdot R(t-i\tau^-) $$

ここで、$M(t^-)$は時刻$t$の直前における区間修理量です。

修理量は:

DC(Diagnostic coverage)を$K_\text{MPF}$で表せば、区間修理量$M(i\tau^-)$は区間累積故障の$K_\text{MPF}$倍となるため、区間修理量$M(i\tau^-)$は以下のようになります：

$$ M(i\tau^-)= K_{\text{MPF}}\int_{(i-1)\tau^+}^{i\tau^-}q(x) \, dx = K_{\text{MPF}} \left[ Q(i\tau^-) - Q\left( (i - 1)\tau^+ \right) \right] $$

ここで、

• $K_\text{MPF}$はDCであり定数、
• $q(t)$は不稼働密度関数(PUD)、
• $Q(t)=\int_{0}^{t}q(x)\,dx$は不稼働度関数(PUA)です。

不稼働度は：

$$ Q(t)=F(t)-K_\text{MPF}\sum_{i=1}^{n}\left[Q(i\tau^-)-Q\left((i-1)\tau^+\right)\right]\cdot R(t - i\tau^+) $$

これにより、PIR戦略下の不稼働度PUAが陰関数形式で表されます。また、$Q(i\tau^+)$に関する一検査周期内の関係式を示します。

$$ \begin{eqnarray} Q(i\tau^+)&=&Q\left((i-1)\tau^+\right)+K_\text{MPF}\left[Q(i\tau^-)-Q\left((i-1)\tau^+\right)\right]\\ &=&(1-K_\text{MPF})Q((i-1)\tau^+)+K_\text{MPF}Q(i\tau^-) \end{eqnarray} $$

なお、本稿はRAMS 2025に投稿予定のため一部を秘匿しています。

前のブログ 次のブログ