サブシステム（VSG吸収）へ持ち上げてPMHFを導出する

VSGに対応するサブシステム過程を $(\eta_t^\text{sub}){t\ge0}$ とし、VSG集合を吸収集合 $\mathcal{P}\text{VSG}$ とします。到達確率を

$$ F_\text{VSG}(t):=\Pr\{\eta_t^\text{sub}\in\mathcal P_\text{VSG}\} \tag{1058.1} $$ と定義し、区間内で微分可能なとき到達密度を $$ f_\text{VSG}(t):=\frac{d}{dt}F_\text{VSG}(t) \tag{1058.2} $$ と定義します。

非冗長系では、DPFは「SMが潜在状態のときにIF故障が起きる」ことで発生します。したがってDPFの到達密度は $$ f_\text{DPF}(t)=\lambda_\text{IF,DPF}\,Q_\text{SM}(t) \tag{1058.3} $$ と書けます。ここで $\lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}$ です。

DPFは「SMが潜在状態のときにIF故障が起きる」ため、DPFの到達密度は $$ f_\text{DPF}(t)=\Pr\{\text{IF up at }t\}\,\lambda_\text{IF,DPF}\,Q_\text{SM}(t) \tag{1058.3} $$ と書けます。希少事象近似の下では $\Pr\{\text{IF up at }t\}\approx 1$ なので $f_\text{DPF}(t)\approx \lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t)$ と簡約できます。

SPFはSM状態に依らず発生するため $$ f_\text{SPF}(t)=\lambda_\text{IF,SPF} \tag{1058.4} $$ と近似できます。ここで $\lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$ です。

非冗長系では $$ f_\text{VSG}(t)\approx f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t) \tag{1058.5} $$ と置けるため $$ f_\text{VSG}(t)\approx (1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\,Q_\text{SM}(t) \tag{1058.6} $$ となります。

車両寿命を $T_\text{lifetime}$ とし、規格定義より $$ \mathrm{PMHF}:=\frac{1}{T_\text{lifetime}}PoF_\text{VSG}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}F_\text{VSG}(T_\text{lifetime})=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}f_\text{VSG}(t)\,dt \tag{1058.7} $$ です。

PIR周期一定で $T_\text{lifetime}=n\tau$ とすれば $$ \int_0^{T_\text{lifetime}} Q_\text{SM}(t)\,dt=(1-K_\text{SM,DPF})\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(t)\,dt+K_\text{SM,DPF}\sum_{k=0}^{n-1}\int_0^\tau F_\text{SM}(u)\,du \tag{1058.8} $$ となります。ここで(1057.6)を用いて区間分割しました。

小確率近似 $F_\text{SM}(t)\approx \lambda_\text{SM}t$ を用いれば $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(t)\,dt\approx \frac{\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}^2}{2},\quad \int_0^\tau F_\text{SM}(u)\,du\approx \frac{\lambda_\text{SM}\tau^2}{2} \tag{1058.9} $$ です。したがって $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}} Q_\text{SM}(t)\,dt\approx \frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1058.10} $$ を得ます。

(1058.6)(1058.7)(1058.10)より $$ \mathrm{PMHF}\approx (1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1058.11} $$ となります。

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エレメント（修理系）を出発点とする導出（決定論的K、PIR周期一定）

確率空間 $(\Omega,\mathcal F,\Pr)$ 上で定義された確率過程 $(\eta_t^\text{elem})_{t\ge0}$ を考えます。Rochester大学の資料に従い、任意の $t\ge0$, $s>0$ と状態 $i,j$ に対して

$$ \Pr\{\eta_{t+s}^\text{elem}=j\mid\eta_t^\text{elem}=i,\ \eta_u^\text{elem}=x_u,\ u<t\} =\Pr\{\eta_{t+s}^\text{elem}=j\mid\eta_t^\text{elem}=i\} \tag{1057.1} $$ が成り立つとき、$(\eta_t^\text{elem})_{t\ge0}$ は連続時間マルコフ連鎖（CTMC）です。

斉時CTMCでは、微小時間 $dt$ における遷移確率は $$ \Pr\{\eta_{t+dt}^\text{elem}=j\mid\eta_t^\text{elem}=i\}=q_{ij}dt+o(dt) \tag{1057.2} $$ で与えられます。

稼働集合を $\mathcal M_\text{elem}$、不稼働集合を $\mathcal P_\text{elem}$ とします。稼働から不稼働への条件付き遷移率（Vesely故障率）を $$ \lambda_\text{v}^\text{elem}(t):=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{elem}\in\mathcal P_\text{elem}\mid\eta_t^\text{elem}\in\mathcal M_\text{elem}\}}{dt} \tag{1057.3} $$ と定義します。

次に、SMの潜在不稼働確率（point-unavailability）を $Q_\text{SM}(t)$ とします。本稿ではKパラメータを確率試行ではなく、アーキテクチャ能力に由来する母集団分割割合（決定論的解釈）として扱います。

PIR周期一定を仮定し、検査周期を $\tau$、検査時刻を $\tau_k=k\tau$ とします。区間内時刻を $$ u:=t-\tau_k\quad (t\in[\tau_k,\tau_{k+1})) \tag{1057.4} $$ と定義します。

SM故障発生のCDFを $$ F_\text{SM}(t):=\Pr\{\sigma_\text{SM}\le t\} \tag{1057.5} $$ と定義します。

点検で検出されない母集団割合を $1-K_\text{SM,DPF}$、点検で検出される母集団割合を $K_\text{SM,DPF}$ とすると、全確率の定理より $$ Q_\text{SM}(t)=(1-K_\text{SM,DPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}F_\text{SM}(u) \tag{1057.6} $$ を得ます。これが状態分割を不要にする統一式です。

区間内で微分可能なとき $$ q_\text{SM}(t):=\frac{d}{dt}Q_\text{SM}(t) \tag{1057.7} $$ と定義すると、(1057.4)(1057.6)より区間内では $du/dt=1$ なので $$ q_\text{SM}(t)=(1-K_\text{SM,DPF})f_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}f_\text{SM}(u) \tag{1057.8} $$ となります。ここで $f_\text{SM}(t):=dF_\text{SM}(t)/dt$ です。

区間内では修理が起きないため、指数分布を仮定する場合は $$ F_\text{SM}(t)=1-\exp(-\lambda_\text{SM}t) \tag{1057.9} $$ であり、小確率 $\lambda_\text{SM}\tau\ll 1$ の下では $$ F_\text{SM}(u)\approx \lambda_\text{SM}u \tag{1057.10} $$ として近似できます。

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upやdownを数式で書いてみます。

非修理系

ランダムプロセス$\eta_s$において、確率変数$X$を無故障稼働時間とします。$\mathcal{M}$を稼働状態のサブセットとし、$\mathcal{P}$を不稼働状態のサブセットとすれば、$X=\inf\lbrace s:\eta_{s}\in\mathcal{P}\rbrace$と示すことができます。

non-repairable elementの瞬間故障率$\lambda(t)$の定義式は、

$$ \lambda(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\lim_{dt\downarrow 0}\frac{\Pr\lbrace X\le t+dt\ |\ t\lt X\rbrace}{dt}\tag{1056.1} $$

であり、(1056.1)を一次展開すれば、

$$ \Pr\lbrace X\le t+dt\ |\ t\lt X\rbrace=\lambda(t)dt+o(dt)\tag{1056.2} $$

となります。ここで(1056.2)に条件付き確率の公式を用いれば、

$$ \Pr\lbrace X\le t+dt\ |\ t\lt X\rbrace=\frac{\Pr\lbrace t\lt X\le t+dt\rbrace}{\Pr\lbrace t\lt X\rbrace}=\frac{f(t)}{R(t)}dt+o(dt)\tag{1056.3} $$

であることから、(1056.2)、(1056.3)の右辺の比較により、

$$ \lambda(t)=\frac{f(t)}{R(t)}\tag{1056.4} $$

修理系

repairable elementのVesely故障率$\lambda_V(t)$は、Christiane Cocozza-Thivent他の論文"The Failure Rate in Reliability. Numerical Treatment"の(1.2)式によれば、

$$\lambda_V(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\lim_{dt\downarrow 0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid \eta_t\in\mathcal{M}\}}{dt} \tag{1056.5}$$

であり、(1056.5)を一次展開すれば、 $$ \Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid\eta_t\in\mathcal{M}\}=\lambda_V(t)dt+o(dt)\tag{1056.6} $$

となります。次に無条件瞬間ダウン強度$h(t)$の定義式は、

$$ h(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim_{dt\downarrow 0} \frac{\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\}}{dt} \tag{1056.7} $$

であり、(1056.7)を一次展開すれば、 $$ \Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\}=h(t)dt+o(dt)\tag{1056.8} $$

となります。また、point availability$A(t)$は、

$$A(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M}\}\tag{1056.9}$$

で表されます。ここで(1056.6)に条件付き確率の公式を用いれば、(1056.8)及び(1056.9)より、

$$ \Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid \eta_t\in\mathcal{M}\} =\frac{\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\}}{\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M}\}} =\frac{h(t)}{A(t)}dt+o(dt) \tag{1056.10} $$

であることから、(1056.6)、(1056.10)の右辺の比較により、

$$ \lambda_V(t)=\frac{h(t)}{A(t)}\tag{1056.11} $$

この記事の改訂版です。

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