生成行列に基づく SPF/DPF の導出（非冗長，記号状態版）

前稿までで、$Q_\text{SM}(t)$ を用いた VSG 到達密度の導出を終えました。本稿では、同じ結果が生成行列からも得られることを示します。ここでは状態を数値ではなく意味を持つ記号で表します。

区間内（PIR による回復を含まない時間区間）では、サブシステム過程を $(\eta_t)_{t\ge0}$ とし、状態順序を

$$ \mathcal S=\bigl(\mathrm{OPR},\mathrm{LAT}_U,\mathrm{LAT}_D,\mathrm{ABS}_\text{SPF},\mathrm{ABS}_\text{DPF}\bigr) \tag{1060.1} $$

とします。ここで $\mathrm{OPR}$ は通常稼働状態、$\mathrm{LAT}_U$ は未検出の潜在状態、$\mathrm{LAT}_D$ は検出対象の潜在状態、$\mathrm{ABS}_\text{SPF}$ と $\mathrm{ABS}_\text{DPF}$ はそれぞれ SPF と DPF に対応する吸収状態です。

IF 側および SM 側の率分解を

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF},\\ \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1060.2} $$

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \lambda_\text{SM,U}=(1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM},\\ \lambda_\text{SM,D}=K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1060.3} $$

とします。

各状態の確率を

$$ p_\text{OPR}(t):=\Pr\{\eta_t=\mathrm{OPR}\}, \qquad p_{\mathrm{LAT}_U}(t):=\Pr\{\eta_t=\mathrm{LAT}_U\}, \qquad p_{\mathrm{LAT}_D}(t):=\Pr\{\eta_t=\mathrm{LAT}_D\} \tag{1060.4} $$

と書きます。

この順序に対応する区間内生成行列 $Q$ は

$$ Q=\left(\matrix{ -(\lambda_\text{SM,U}+\lambda_\text{SM,D}+\lambda_\text{IF,SPF}) & \lambda_\text{SM,U} & \lambda_\text{SM,D} & \lambda_\text{IF,SPF} & 0 \cr 0 & -(\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}) & 0 & \lambda_\text{IF,SPF} & \lambda_\text{IF,DPF} \cr 0 & 0 & -(\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}) & \lambda_\text{IF,SPF} & \lambda_\text{IF,DPF} \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }\right) \tag{1060.5} $$

です。

稼働集合と吸収集合を

$$ \mathcal M={\mathrm{OPR},\mathrm{LAT}_U,\mathrm{LAT}_D}, \qquad \mathcal P_\text{SPF}={\mathrm{ABS}_\text{SPF}}, \qquad \mathcal P_\text{DPF}={\mathrm{ABS}_\text{DPF}} \tag{1060.6} $$

とします。このとき、一般に吸収集合 $\mathcal P_X$ への到達密度は

$$ f_X(t)=\sum_{s\in\mathcal M}p_s(t)\sum_{v\in\mathcal P_X}q_{sv}, \qquad X=\text{SPF},\text{DPF},\text{VSG} \tag{1060.7} $$

で与えられます。

まず SPF 吸収状態への流出率は、$\mathrm{OPR},\mathrm{LAT}_U,\mathrm{LAT}_D$ のいずれからも $\lambda_\text{IF,SPF}$ なので

$$ f_\text{SPF}(t)=\lambda_\text{IF,SPF}\bigl(p_\text{OPR}(t)+p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr) \tag{1060.8} $$

です。

次に DPF 吸収状態への流出率は、$\mathrm{LAT}_U,\mathrm{LAT}_D$ からのみ $\lambda_\text{IF,DPF}$ なので

$$ f_\text{DPF}(t)=\lambda_\text{IF,DPF}\bigl(p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr) \tag{1060.9} $$

となります。

したがって VSG 到達密度は

$$ f_\text{VSG}(t)=f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t) \tag{1060.10} $$

です。

ここで全確率の保存より

$$ p_\text{OPR}(t)+p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)=1-F_\text{VSG}(t)\approx1 \tag{1060.11} $$

です。また、$p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)$ は「SM が潜在故障状態にあり、かつ IF がまだ稼働している」確率であるから、

$$ \begin{eqnarray} p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t) &=& \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\\ &=& Q_\text{SM}(t)\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\mid\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\}\\ &\approx& Q_\text{SM}(t) \end{eqnarray} \tag{1060.12} $$

と書けます。

したがって

$$ f_\text{VSG}(t)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1060.13} $$

を得ます。これは前稿までの導出と一致します。したがって、PMHF の SPF 項および DPF 項は、生成行列に基づく CTMC からも同じ形で導かれます。

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