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連続時間マルコフ連鎖とPMHF式の導出 改訂版 (2) |
サブシステム（VSG吸収）とSPF/DPF密度の定式化
VSGに対応するサブシステム過程を $(\eta_t^\text{sub})_{t\ge0}$ とし、吸収集合を $\mathcal P_\text{VSG}$ とします。到達確率を
$$ F_\text{VSG}(t):=\Pr\{\eta_t^\text{sub}\in\mathcal P_\text{VSG}\} \tag{1058.1} $$ と定義し、区間内で微分可能なとき到達密度を
$$ f_\text{VSG}(t):=\frac{d}{dt}F_\text{VSG}(t) \tag{1058.2} $$ と定義します。
次に、IFに対応する確率過程を $(\eta_t^\text{IF})_{t\ge0}$ とし、稼働集合を $\mathcal M_\text{IF}$ とします。稼働集合からの条件付き遷移率（Vesely故障率）を
$$ \lambda_\text{IF,SPF}(t):=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt} \tag{1058.3} $$ および
$$ \lambda_\text{IF,DPF}(t):=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt} \tag{1058.4} $$ と定義します。
このとき、SPFの到達密度は $$ f_\text{SPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\,\lambda_\text{IF,SPF}(t) \tag{1058.5} $$ と書けます。
また、DPFは「SMが潜在状態にあり、かつIFが稼働集合にある」条件のもとで生じるため、SM潜在確率 $Q_\text{SM}(t)$ を用いて $$ f_\text{DPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\,\lambda_\text{IF,DPF}(t)\,Q_\text{SM}(t) \tag{1058.6} $$ と書けます。
希少事象近似の下では $\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\approx 1$ とみなせるため、 $$ f_\text{SPF}(t)\approx \lambda_\text{IF,SPF}(t),\qquad f_\text{DPF}(t)\approx \lambda_\text{IF,DPF}(t)\,Q_\text{SM}(t) \tag{1058.7} $$ と簡約できます。
非冗長系では $$ f_\text{VSG}(t)\approx f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t) \tag{1058.8} $$ となります。
車両寿命を $T_\text{lifetime}$ とすると、規格定義より $$ \mathrm{PMHF}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}} f_\text{VSG}(t)\,dt \tag{1058.9} $$ です。 以下では、(1058)の $\mathcal P_\text{IF,SPF}$ および $\mathcal P_\text{IF,DPF}$ を明確に定義します。
IFに対応する確率過程を $(\eta_t^\text{IF})_{t\ge0}$ とし、稼働集合を $\mathcal M_\text{IF}$ とします。さらに、IFの故障モードを次の2つの互いに素な集合に分割します。
- 未検出危険故障モード集合（SPFに寄与） $\mathcal P_\text{IF,SPF}$
- 検出危険故障モード集合（DPFに寄与） $\mathcal P_\text{IF,DPF}$
すなわち $$ \mathcal P_\text{IF}:=\mathcal P_\text{IF,SPF}\cup \mathcal P_\text{IF,DPF},\quad \mathcal P_\text{IF,SPF}\cap \mathcal P_\text{IF,DPF}=\varnothing \tag{1058.10} $$ と定義します。
この分割は $K_\text{IF,RF}$ を母集団分割割合（決定論的解釈）として用いることに対応します。すなわち、IFの危険故障率を $\lambda_\text{IF}$ とすると $$ \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF},\quad \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \tag{1058.11} $$ と置けます。
