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連続時間マルコフ連鎖とPMHF式の導出 改訂版 (10) |
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同じ IF-SM レイテントモデルを用いたとき PFH と PMHF はどこまで一致するか
前稿までで、PFH の $\sum\lambda$ 式は SPF 支配の簡略式であり、SM の潜在故障状態を明示すれば PFH 側にも 2 次項が現れることを述べました。本稿では、同じ IF-SM レイテントモデルを PFH と PMHF の双方に適用したとき、両者がどこまで一致するかを整理します。
同じ IF-SM レイテントモデルを用いると、危険事象への瞬時流入は、希少事象近似の下で
$$ w_D(t)\approx \lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1066.1} $$
と書けます。ここで第1項は IF の SPF 寄与、第2項は SM の潜在故障状態における IF の危険遷移です。
したがって、評価窓を $H$ とすると PFH は
$$ \mathrm{PFH}(0,H) :=\frac{1}{H}E\{N_D(H)\} \approx \lambda_\text{IF,SPF}+\frac{\lambda_\text{IF,DPF}}{H}\int_0^H Q_\text{SM}(t)\,dt \tag{1066.2} $$
です。ここで $N_D(H)$ は、区間 $[0,H]$ における dangerous failure の発生回数です。
一方、PMHF は同じモデル上で
$$ \mathrm{PMHF}(T) :=\frac{1}{T}\int_0^T f_\text{VSG}(t)\,dt \approx \lambda_\text{IF,SPF}+\frac{\lambda_\text{IF,DPF}}{T}\int_0^T Q_\text{SM}(t)\,dt \tag{1066.3} $$
と書けます。
したがって、同じモデル、同じ近似、同じ評価窓を用いるなら
$$ H=T \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{PFH}(0,T)\approx \mathrm{PMHF}(T) \tag{1066.4} $$
です。すなわち、PFH と PMHF は 1 次近似では同じ骨格を持ちます。
ここで重要なのは、これは exact quantity が最初から同じであることを意味しない、という点です。PFH 側の exact quantity は発生回数の期待値であり、
$$ \mathrm{PFH}(0,T)=\frac{1}{T}E\{N_D(T)\} \tag{1066.5} $$
です。
これに対して PMHF 側の exact quantity は first dangerous failure までの到達確率であり、first dangerous failure time を
$$ \sigma_D:=\inf\{t\ge0\mid N_D(t)\ge1\} \tag{1066.6} $$
とおけば
$$ \mathrm{PMHF\text{-}type}(T)=\frac{1}{T}\Pr\{\sigma_D\le T\}=\frac{1}{T}\Pr\{N_D(T)\ge1\} \tag{1066.7} $$
です。
したがって、両者の差は
$$ E\{N_D(T)\}-\Pr\{N_D(T)\ge1\} =\sum_{n\ge2}(n-1)\Pr\{N_D(T)=n\} \tag{1066.8} $$
となります。すなわち、PFH と PMHF 型 quantity の exact な差は、区間 $[0,T]$ における 2 回目以降の dangerous failure の寄与そのものです。
ここで寿命区間全体に対して rare-event 近似
$$ \Pr\{N_D(T)\ge2\}\approx 0 \tag{1066.9} $$
を置けば、
$$ E\{N_D(T)\}\approx \Pr\{N_D(T)\ge1\} \tag{1066.10} $$
となり、PFH と PMHF 型 quantity の差は 1 次では見えなくなります。
要するに、同じ IF-SM レイテントモデルを用いるなら、PFH も PMHF も
$$ \lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1066.11} $$
という同じ integrand を持ちます。したがって、同じ評価窓で平均すれば 1 次近似では同じ式になります。通常の PFH が $\sum\lambda$ の形に見えるのは、PFH が本質的に SPF のみを見ているからではなく、latent state を明示せず、DPF 項をさらに潰した簡略式を用いているからです。
