パターン1
規格解説書によるPMHF式の導出手法と、弊社による導出手法を比較します。簡単化のため、パターン1どうしを比較し、それぞれ規格解説書=com、弊社=fsmとします。
まず、規格解説書パターン1(476.5)は、
$$
\require{color}
\definecolor{yellow}{rgb}{1.0,1.0,0.7}
\definecolor{lime}{rgb}{0.7,1.0,0.9}
\definecolor{water}{rgb}{0.7,0.9,1.0}
\definecolor{pink}{rgb}{1.0,0.7,1.0}
\definecolor{red}{rgb}{1.0,0.7,0.7}
\definecolor{orange}{rgb}{1.0,0.9,0.7}
M_\text{PMHF,com,P1}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}d\!\Pr\{\text{SM1 downs in }[t, t+\delta t)\cap\text{SM1 ups at }t\\
\cap\cdot\colorbox{pink}{$\text{SM1 fault undetected}$}\}\cdot\colorbox{lime}{$\Pr\{\text{IF ups at }t
\cap\text{IF fails in }[t, T_\text{lifetime})$}\\
\cap\colorbox{water}{$\text{IF fault prevented}$}\}
\tag{478.1}
$$
一方、弊社パターン1(474.5)は、
$$
M_\text{PMHF,fsm,P1}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}d\!\Pr\{\colorbox{orange}{$\text{LAT2 at }t$}\cap\colorbox{water}{$\text{IF fault prevented}$}\\
\cap\text{IF downs in }(t', t'+\delta t']\}\\
=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}d\!\Pr\{\text{IF ups at }t'\cap\colorbox{orange}{$\text{SM1 downs at }t$}\cap\colorbox{pink}{$\text{SM1 fault not detected}$}\\
\cap\colorbox{water}{$\text{IF fault prevented}$}\cap\text{IF downs in }(t', t'+\delta t']\}\\
=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}\colorbox{orange}{$\Pr\{\text{SM1 fails in }[0, t)$}\cap\colorbox{pink}{$\text{SM1 fault not detected}$}\}\\
\cdot d\!\Pr\{\text{IF downs in }[t', t'+\delta t')\cap\text{IF ups at }t'\cap\colorbox{water}{$\text{IF fault prevented}$}\}
\tag{478.2}
$$
でした。
ここで、以下(478.3)の2つの確率
$$
\begin{eqnarray}\begin{cases}
\Pr\{\colorbox{pink}{$\text{SM1 fault undetected}$}\}=\colorbox{pink}{$1-K_\text{SM1,DPF}$}\\
\Pr\{\colorbox{water}{$\text{IF fault prevented}$}\}=\colorbox{water}{$K_\text{IF,DPF}$}
\end{cases}\end{eqnarray}\tag{478.3}
$$
は定数であることから、この(478.3)を代入すれば、(478.1)は、
$$
(478.1)=M_\text{PMHF,com,P1}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\colorbox{water}{$K_\text{IF,DPF}$}\colorbox{pink}{$(1-K_\text{SM1,DPF})$}\\
\cdot\int_0^{T_\text{lifetime}}d\!\Pr\{\text{SM1 downs in }[t, t+\delta t)\cap\text{SM1 ups at }t\}\\
\cdot\colorbox{lime}{$\Pr\{\text{IF ups at }t'\cap\text{IF fails in }[t, T_\text{lifetime})\}$}
\tag{478.4}
$$
となり、(478.2)は、
$$
(478.2)=M_\text{PMHF,fsm,P1}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\colorbox{water}{$K_\text{IF,DPF}$}\colorbox{pink}{$(1-K_\text{SM1,DPF})$}\\
\cdot\int_0^{T_\text{lifetime}}\colorbox{orange}{$\Pr\{\text{SM1 fails in }[0, t')\}$}\cdot d\!\Pr\{\text{IF downs in }[t', t'+\delta t')\cap\text{IF ups at }t'\}
\tag{478.5}
$$
となります。それぞれに(66.4)を適用すれば、(478.4)は、
$$
(478.4)=M_\text{PMHF,com,P1}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\colorbox{water}{$K_\text{IF,DPF}$}\colorbox{pink}{$(1-K_\text{SM1,DPF})$}\\
\cdot\int_0^{T_\text{lifetime}}f_\text{SM1}(t)\colorbox{lime}{$\Pr\{\text{IF ups at }t\cap\text{IF fails in }[t, T_\text{lifetime})\}$}dt\\
=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\colorbox{water}{$K_\text{IF,DPF}$}\colorbox{pink}{$(1-K_\text{SM1,DPF})$}\\
\cdot\int_0^{T_\text{lifetime}}f_\text{SM1}(t)\colorbox{lime}{$\left[\Pr\{\text{IF fails in }[0, T_\text{lifetime})\}-\Pr\{\text{IF fails in }[0, t)\}\right]$}dt\\
=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\colorbox{water}{$K_\text{IF,DPF}$}\colorbox{pink}{$(1-K_\text{SM1,DPF})$}
\int_0^{T_\text{lifetime}}f_\text{SM1}(t)\colorbox{lime}{$\left[F_\text{IF}(T_\text{lifetime})-F_\text{IF}(t)\right]$}dt\\
\tag{478.6}
$$
となり、(478.5)は、
$$
(478.5)=M_\text{PMHF,fsm,P1}\\
=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\colorbox{water}{$K_\text{IF,DPF}$}\colorbox{pink}{$(1-K_\text{SM1,DPF})$}\int_0^{T_\text{lifetime}}\Pr\{\colorbox{orange}{$\text{SM1 fails in }[0, t')$}\}f_\text{IF}(t')dt'\\
=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\colorbox{water}{$K_\text{IF,DPF}$}\colorbox{pink}{$(1-K_\text{SM1,DPF})$}\int_0^{T_\text{lifetime}}\colorbox{orange}{$F_\text{SM1}(t')$}f_\text{IF}(t')dt'
\tag{478.7}
$$
となります。(478.6)も(478.7)も結果式は同一であり、
$$
(478.6)=(478.7)=\frac{1}{2}K_\text{IF,DPF}K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM1}T_\text{service}
\tag{478.8}
$$
と、このように一致します。従って元の(478.1)と(478.2)は同値であるはずです。
ここで(478.6)、(478.7)のそれぞれの意味を解析してみます。(478.6)の解説書の方法は、
SM1のフォールトの確率密度を、$t$をSM1のフォールト時刻として0から車両寿命まで積分するにあたり、
1. 0から$t$まではIFが先にフォールトしている場合のIFの先フォールトの確率(確率密度の積分)
2. $t$から車両寿命まではSM1が先にフォールトしている場合のIFの後フォールトの確率(確率密度の積分)
の合計$\colorbox{lime}{$F_\text{IF}(T_\text{lifetime})$}$を求めます。これから1.$\colorbox{lime}{$F_\text{IF}(t)$}$を引けば、結果としてSM1⇒IFの順のDPF確率が求まります。
このようなことをせずにCTMCを用いて(478.7)のとおり、
IFのフォールトの確率密度を、$t'$をIFのフォールト時刻として0から車両寿命まで積分するにあたり、
1. 0から$t'$まではSM1が先にフォールトしている場合のSM1の先フォールトの確率(確率密度の積分)
である$\colorbox{orange}{$F_\text{SM1}(t')$}$を先に求めれば、結果としてDPFを単純に求めることができます。時系列的にもSM1⇒IFの順のフォールトなので、最初にSM1のフォールト確率積分をするほうが自然です。
なお、本稿はRAMS 2024に投稿予定のため一部を秘匿していますが、論文公開後の2024年2月頃に開示予定です。
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