8月8日がRAMSに対する無記名論文の投稿締め切りであり、8月9日から査読期間ですが、今回は初日に査読コメントが届きました。論文のタイトルは以下のとおりです。

"Bridging the Gap of the Derivation Process in ISO 26262 Probabilistic Metric (PMHF) Formulas"
(ISO 26262確率論的指標(PMHF)公式の導出プロセスのギャップを埋める)

以下は査読者コメントです。

1. 論文タイトル「ギャップ」が明確にわかる名称に変更すること。
2. 論文の論理的推論を「ギャップ」を新しい名称に変更し、SUMMARY & CONCLUSONSにコンパクトにまとめる。
3. ギャップの前提条件とシナリオの違い、革新的な解決策に焦点を当てる。

今回の論文は、ISO 26262規格のPMHF方程式の誤りを指摘し、それを修正すると我々の提案式と一致することを数学的に証明しており、内容としてはロバストなものだと考えています。しかしながら、それを題名でダイレクトに書くのがはばかれたため、婉曲に規格式と我々の提案式のギャップという表現にしたものです。

一方、査読者はギャップという言葉が曖昧であり、何と何の間がギャップで規格になんの問題があるのかがわかりにくかったようです。従って、対処としては本来「規格PMHF方程式の誤りとその解決」とするのが明快です。しかしながら、それでは規格に対して挑戦的になるため、ChatGPTに問題点とその解決ではあるものの、ある程度婉曲になる題名を数案出してもらいました。

"Identifying and Addressing the Challenges in ISO 26262 PMHF Formulas: A Proven Path to Our Proposed Solution"

このタイトルは「問題点を特定し、対処する」というプロセスを強調し、それが提案された解決策への確実な道筋であることを示します。

少々長いのと、題名では省略語は使用できないため、

"Identifying and Addressing the Challenges in ISO 26262 Probabilistic Metric (PMHF) Formulas"
(ISO 26262確率論的指標（PMHF）公式の課題の特定と対処)

と修正します。さらに、

"Revisiting the Derivation Process in ISO 26262 Probabilistic Metric (PMHF) Formulas: A Proposed Approach"

「再検討」という言葉は、改善の余地があることを示唆するのに十分婉曲ですが、明確な問題提起としても機能します。

これも短縮して、

"Revisiting the Derivation Process in ISO 26262 Probabilistic Metric (PMHF) Formulas"
(ISO 26262確率論的指標（PMHF）公式の導出プロセスの再検討)

というのも良いと思っています。まさに導出過程に問題点があることが、第2版解説書から判明したからです。

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人間:

説明が間違いです。$f(t)$は故障率ではなくPDFと呼ばれます。

ChatGPT:

ご指摘いただき、ありがとうございます。修正いたします。

確かに、$f(t)$ は確率密度関数（PDF: Probability Density Function）または故障率密度（PDT: Point Density of Failures）と呼ばれ、時間 $t $における故障の発生確率密度を表します。

同様に、$f(u)$ は時間 $u$ での故障の発生確率密度を表し、$K_\text{MPF}$ は検出率を表します。これは、時間$ t $と $u=t-n\tau$ における故障の一部が検出され修理されることを示しています。

したがって、$q(t)$ は以下のように表されます。

$$ q(t) = (1-K_\text{MPF})f(t) - K_\text{MPF} f(u) $$

ここで、$u=t-n\tau$ です。これは、故障が発生し、それが検出され修理されない確率と、前回の修理以降の故障が検出・修理される確率の差を表しています。

人間:

差ではなく和ではないですか？さらに最後の行ですが、$f(t)$は確率ではなく、確率密度です。

ChatGPT:

ご指摘いただき、ありがとうございます。その通りです。私の説明は誤っていました。

確かに、$f(t)$ は確率ではなく、確率密度関数（Probability Density Function、PDF）です。これは、時間 $t$ における故障の確率密度を表します。

同様に、$f(u)$ は時間 $u$ での故障の確率密度を表します。

したがって、PUD (Point Unavailable Density) の $q(t)$ は以下のように表されます：

$$ q(t) = \img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} $$

これは、時間 $t$ における故障の確率密度とそれが未検出・未修理である確率、および前回の修理以降の故障が検出・修理される確率密度の和を表しています。

ChatGPTは機械にも関わらずよく計算間違いをします。機械なら機械的な計算くらいは間違えないで欲しいものです。ついでにミスの理由を聞いてみます。

なお、本稿はRAMS 2025に投稿予定のため一部を秘匿しています。

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人間:

$Q(t)$ (Point Unavailability)を時間微分したものが$q(t)$ (Point Unavailable Density; PUD)ですが、どのような式になりますか？

ChatGPT:

不稼働度 $Q(t)$ の時間微分は、その瞬間の不稼働確率密度 $q(t)$ を与えます。先ほどの $Q(t)$ の式から、以下のように $q(t)$ を得ることができます。

$$ q(t) = \frac{dQ(t)}{dt} $$

この微分を計算すると、次の結果が得られます。

$$ q(t) = \img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} $$

ここで、$f(t)$ は時間 $t$ における故障率（PDT: Point Density of Failures）であり、 $f(u)$ は時間 $u$ における故障率です。また、 $K_\text{MPF}$ は検出率を表します。これは、時間 $t$ と $u=t-n\tau$ における故障の一部が検出され修理されることを示しています。

第2項の符号が誤っています。また、説明において、$f(t)$を誤って「故障率」と呼んでいるのは見過ごせません。

なお、本稿はRAMS 2025に投稿予定のため一部を秘匿しています。

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人間:

それでは不稼働度$Q(t)$はどうなりますか？$F(t)$を用いて表してください。できるかぎり簡約化して$F(t)$項でまとめて表してください。定数は先頭に出してください。

ChatGPT:

稼働度 $A(t)$ の最終形を $1 - F(t)$ によって表現し、それを用いて不稼働度 $Q(t) = 1 - A(t)$ を求めます。

稼働度 $A(t)$ の最終形式は次の通りでした：

$$A(t) = (1 - K_\text{MPF}) (1 - F(t)) + K_\text{MPF} (1 - F(u))$$

これを $Q(t)$ の式に代入します：

$$Q(t) = 1 - {(1 - K_\text{MPF})(1 - F(t)) + K_\text{MPF}(1 - F(u))}$$

これを整理します：

$$Q(t) = F(t) - K_\text{MPF} (F(t) - F(u))$$

更にこれを整理すると、

$$Q(t) = (1 - K_\text{MPF})F(t) + K_\text{MPF} F(u) $$

となります。これは不稼働度 $Q(t)$ が不信頼度 $F(t)$ と $F(u)$ の組み合わせで表されることを示しています。ただし、これは修理の間隔 $\tau$ が一定である場合に限ります。

先生側(人間側)の手助けもあり、$Q(t)$を正しく導出できました。一方、ChatGPTとの会話の中で、(626.2)の式の誤りも検出できました。教えるのが一番の勉強とはまさにこのことです。

なお、本稿はRAMS 2025に投稿予定のため一部を秘匿しています。

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人間:

$A(t)$はどうなりますか？$u\equiv t-n\tau$として最終形の$A(t)$を$t$と$u$で表してください($n$と$\tau$を消去)。$R(t)$項でまとめ、定数は項の先頭に出してください。

ChatGPT:

変数変換 $u \equiv t - n\tau$ を用いて稼働度 $A(t)$ の表現を変換します。初めに求めた最終形

$$ A(t) = R(t) - K_\text{MPF} R(t) + K_\text{MPF} R(t - n\tau) $$

で、$t - n\tau$ を $u$ とすると、式は以下のように書き換えられます：

$$ A(t) =\img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} $$

これは、時間 $t$ での稼働度 $A(t)$ が信頼度 $R(t)$ と前回の修理からの時間 $u$ での信頼度 $R(u)$ の組み合わせであることを示しています。ここで、修理の間隔 $\tau$ と修理の回数 $n$ が消去されています。

細かく指示した結果、$A(t)$を正しく導出できました。

なお、本稿はRAMS 2025に投稿予定のため一部を秘匿しています。

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人間:

なるほど、その理由がわかりました。 $$m(x)=K_\text{MPF}F(i\tau)$$ としていたのが誤りでした。

正しくは、$m(x)$はリニューアルデンシティなので、瞬間の変化量です。修理量は検査区間において 積分した故障について一定値$K_\text{MPF}$をかけるので、 $$\int_0^\tau m(x)dx = \int_0^\tau K_\text{MPF}f(x)dx = K_\text{MPF}F(\tau)$$ とすべきでした。これであれば次元の矛盾は解消されます。

ChatGPT:

ご説明いただきありがとうございます。おっしゃるとおり、$m(x)$はリニューアル密度として瞬間的な変化を表し、故障の累積に一定の値をかける形で修理量が表現されます。

これに基づき、$\int_0^{\tau} m(x)dx = \int_0^{\tau} K_\text{MPF} f(x)dx = K_\text{MPF}F(\tau)$と修正した形で表現すると、次元の矛盾が解消されます。

したがって、稼働度 $A(t)$ の方程式は次のようになります。

$$ A(t) = R(t) + K_\text{MPF} \left[ \sum_{i=1}^{n} (1 \cdot R(t-i\tau) - R(\tau) \cdot R(t-i\tau)) \right] $$

さらに、$i=n$ のときの第1項と、$j=0$ のときの第2項のみがキャンセルされず残ります。そのため、結果は次のようになります。

$$ A(t) = \img[-1.35em]{/images/withinseminar.png} $$

これにより、次元的な問題が解消され、稼働度 $A(t)$ の表現が一貫性を持つようになりました。ただし、具体的な値は $R(t)$ の形状や特性、そして $K_\text{MPF}$ の値によります。

(626.2)の式は誤っていました(現在は修正済み)。$m(x)$は確率密度なので区間で積分しなければ修理度になりません。ChatGPTとの対話により、この誤りに気付くことができました。

なお、本稿はRAMS 2025に投稿予定のため一部を秘匿しています。

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人間:

ところで、$A(t)$の式は次元間違いがあるのではないでしょうか？$A(t)$も$R(t)$も無次元ですが、$K_\text{MPF}$のかかる項では$K_\text{MPF}$と$R(t)$が無次元なのに$\tau$が時間の次元を持ちます。

ChatGPT:

ご指摘いただいた通り、$A(t)$と$R(t)$は両方とも無次元量で、これらは時間 $t$ によって変化します。一方で、$\tau$ は時間の次元を持ちます。そのため、$K_\text{MPF} \cdot \tau$ の項が時間の次元を持ってしまいます。これは次元的に矛盾が生じてしまいます。

あなたが初めに紹介した方程式は、

$$ A(t) = R(t) + \int_{0}^{t} m(x) \cdot R(t - x) dx $$

であり、ここで $m(x)$ は修理率で時間の逆数の次元を持つ量でした。したがって、修理率を反映した項は時間の次元を持たないということは不適切かもしれません。

したがって、もし $K_\text{MPF}$ が実際に修理率を表すのであれば、それは時間の逆数の次元を持つべきで、修理期間 $\tau$ を乗じると無次元になるべきです。この場合、次元的には問題ありません。

あるいは、$K_\text{MPF}$ が無次元であるならば、$K_\text{MPF} \cdot \tau$ が無次元となるように、別の無次元パラメータを導入する必要があります。たとえば、$K_\text{MPF}$ を修理率に関する無次元化パラメータとして解釈することも考えられます。ただし、その場合、$K_\text{MPF}$ の解釈やその値をどのように決定するかが問題となります。

最終的な $A(t)$ の式を得るためには、これらの考慮事項を含めた更なる情報が必要になります。

ChatGPTも何かおかしいと思っているようです。少々考えてみましょう。

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人間:

計算が間違っているようです。$i=1, 2, 3, ..., n$とし、$j=(i-1)=0, 1, 2, ... n-1$とします。和の項が大部分キャンセルするので、$\sum$の項をそれぞれ第1、第2項とすると、第1項が$i=n$のとき、第2項が$j=0$のときのみがキャンセルされずに残ります。$A(t)$はどうなりますか？

ChatGPT:

了解しました。インデックス $i$ を $1, 2, 3, ..., n$ とし、$j = i - 1$ を $0, 1, 2, ..., n-1$ とします。そして、和の項がほとんどキャンセルすることを利用します。このとき、$A(t)$ の方程式は次のようになります。

$$ A(t) = R(t) + K_\text{MPF} \cdot \tau \left[ \sum_{i=1}^{n} R(t-i\tau) - \sum_{j=0}^{n-1} R(t-j\tau) \right] $$

そして、$i=n$ のときの第1項と、$j=0$ のときの第2項のみがキャンセルされず残ります。そのため、結果は次のようになります。

$$ A(t) = R(t) + K_\text{MPF} \cdot \tau \left[ R(t-n\tau) - R(t) \right] $$

したがって、最終的な $A(t)$ の式は次のようになります。

$$ A(t) = R(t) - K_\text{MPF} \cdot \tau \left[ R(t) - R(t-n\tau) \right] $$

この式は、時間 $t$ での稼働度 $A(t)$ を表しています。ただし、具体的な値は $R(t)$ の形状や特性、そして $K_\text{MPF}$ の値によります。

丁寧に教えた結果、$A(t)$の式を導出できました。ただし、元々$A(t)$の式は正しくないことに注意。その点を指摘します。

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記事「$Q(t)$とChatGPT (4)」の続きです。

人間:

最後が誤っています。$R(\tau)R(t-i\tau)=R(t-(i-1)\tau)$と変形されます。

ChatGPT:

大変申し訳ありません。指摘いただいた通り、修理後に信頼度がリセットされるので、$R(\tau) \cdot R(t - i\tau)$は実際には次の修理までの信頼度、つまり$R(t - (i-1)\tau)$ となるべきです。

修正した結果は以下のようになります：

$$ A(t) = R(t) + K_\text{MPF} \cdot \tau \left[ \sum_{i=1}^{n} R(t-i\tau) - \sum_{i=1}^{n} R(t-(i-1)\tau) \right] $$

これをさらに整理して、

$$ A(t) = R(t) + K_\text{MPF} \cdot \tau \left[ R(t) - R(t - n\tau) \right] $$

となります。この形にするためには、シグマの和の項がキャンセルして $R(t) - R(t - n\tau)$ となることを利用しました。

この結果は時間 $t$ での稼働度 $A(t)$ を示していますが、$R(t)$ の具体的な形状や特性により結果は変わります。また、$K_\text{MPF}$ がシステムの性能に依存する一定の値であると仮定しています。

計算において符号の誤りがあるようです。さらに、元々$A(t)$の式は正しくないことに注意。

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表631.1はRAMS 2024の正式採択までのマイルストーンを示しています。

所属および名前無し版の論文およびプレゼンテーションの締め切りは7月末であり、既に投稿済みですので、表を更新しました。

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