VSG は到達後の復帰は規格上仮定しないので、それは吸収状態です。したがって VSG への到達は高々一度しか起きません。

VSG 到達時刻を $$ \tau:=\inf\{t\ge0:\eta_i\in\mathcal{P}\} $$ と定義します。

$N(T)$を区間 $[0,T]$におけるVSG 到達回数として、

$$ N(T):=\mathbf 1_{{\tau\le T}} \tag{1058.0} $$ と定義すれば、 $$ N(T)\in\{0, 1\} $$

前頁の式 (1057.7) より、微小時間区間におけるダウン確率は $$ \Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\} =h(t)\,dt+o(dt)\tag{1058.1} $$ で、ダウン回数を$dN(t)$と書けば、 $$ \begin{eqnarray} dN(t)= \begin{cases} 1 & (ダウンが起きるとき) \ 0 & (それ以外) \end{cases} \end{eqnarray} $$ であるので、期待ダウン回数は $$ E[dN(t)]=\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\} $$ これに(1058.1)を適用して両辺を積分すれば、 $$ E[N(t)]=\int_0^T h(t)dt\tag{1058.2} $$ となります。$N(T)\in\{0,1\}$であるので、 $$ E[N(T)]=\Pr\{N(T)=1\}=\Pr\{\tau\le T\}\tag{1058.2} $$

したがって $$ \mathrm{PoF}(T)=\Pr\{\tau\le T\}=\int_0^T h(t)\,dt\tag{1058.4} $$ であり、

$$ \mathrm{PMHF}=\frac{\mathrm{PoF}(T_\text{lifetime})}{T_\text{lifetime}}=\frac{1}{T_\text{lifetime}} \int_0^{T_\text{lifetime}}h(t)\,dt\tag{1058.5} $$

となります。

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確率空間 $(\Omega,\mathcal F,\Pr)$ 上で定義された確率過程 $\{\eta_t\}_{t\ge0}$ を考えます。 米国ロチェスター大学の資料(そのキャッシュ)によれば、 $\eta_t$ が状態空間 $\mathcal E=\{0,1,2,\ldots\}$ を値に取るとき、 任意の $t\ge0$, $s>0$, および任意の状態 $i,j\in\mathcal E$ に対して

$$\Pr\{\eta_{t+s}\in j\mid\eta_t\in i,\ \eta_u=x_u,\ u<t\} =\Pr\{\eta_{t+s}\in j\mid\eta_t\in i\}\tag{1057.1}$$

が成り立つ場合、${\eta_t}$ は連続時間マルコフ連鎖（CTMC）です。これは遷移する確率が、過去の時刻$u$での状態に依存せず、現在時刻$t$での状態にのみ依存することを表します。

斉時CTMCである$\eta_t$において、ステート$i$から$j$への微小時間$dt$における状態遷移確率 (Instantanous Transition Probability Function)$P_{ij}$は次式で与えられます。

$$ P_{ij}(t):=\Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{j}\mid\eta_{t}\in\mathcal{i}\} =q_{ij}dt+o(dt)\tag{1057.2} $$ ここで$q_{ij}$はCTMC の生成行列の成分として定義される遷移率(Transition Rate)です。

次に、$\mathcal{M}$を稼働状態の集合、$\mathcal{P}$を不稼働状態の集合とします。稼働状態$\mathcal{M}$から不稼働状態$\mathcal{P}$への遷移をダウンと定義し、その微小時間$dt$における条件付き確率を考えると(1057.2)は次の形で表されます。

$$P_\mathcal{MP}(t) =\Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid\eta_{t}\in\mathcal{M}\} =q_\mathcal{MP}dt+o(dt)\tag{1057.3}$$

ここで、ダウンに対応するVesely故障率$\lambda_v(t)$を次式で定義します。 ​ $$ \lambda_v(t):=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid \eta_t\in\mathcal{M}\}}{dt}\tag{1057.4} $$

CTMC を仮定する場合、式 (1057.3) より$\lambda_v(t)$は生成行列の成分$q_\mathcal{MP}$と一致します。

このVesely 故障率$\lambda_v(t)$を用いると、微小時間$dt$においてダウンする同時遷移確率は、

$$\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\}\\ =\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M}\}\Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid\eta_t\in\mathcal{M}\}\\ =\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M}\}\lambda_v(t)dt+o(dt)\tag{1057.5}$$

で与えられます。このとき、ダウンの無条件の瞬間遷移強度$h(t)$を $$ h(t):=\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M}\}\,\lambda_v(t) \tag{1057.6} $$ と定義すれば、 $$ \Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\} = h(t)\,dt +o(dt) \tag{1057.7} $$ となります。

以後、この $h(t)$を用いて VSG 発生確率を評価します。

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upやdownを数式で書いてみます。

非修理系

ランダムプロセス$\eta_s$において、確率変数$X$を無故障稼働時間とします。$\mathcal{M}$を稼働状態のサブセットとし、$\mathcal{P}$を不稼働状態のサブセットとすれば、$X=\inf\lbrace s:\eta_{s}\in\mathcal{P}\rbrace$と示すことができます。

non-repairable elementの瞬間故障率$\lambda(t)$の定義式は、

$$ \lambda(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\lim_{dt\downarrow 0}\frac{\Pr\lbrace X\le t+dt\ |\ t\lt X\rbrace}{dt}\tag{1056.1} $$

であり、(1056.1)を一次展開すれば、

$$ \Pr\lbrace X\le t+dt\ |\ t\lt X\rbrace=\lambda(t)dt+o(dt)\tag{1056.2} $$

となります。ここで(1056.2)に条件付き確率の公式を用いれば、

$$ \Pr\lbrace X\le t+dt\ |\ t\lt X\rbrace=\frac{\Pr\lbrace t\lt X\le t+dt\rbrace}{\Pr\lbrace t\lt X\rbrace}=\frac{f(t)}{R(t)}dt+o(dt)\tag{1056.3} $$

であることから、(1056.2)、(1056.3)の右辺の比較により、

$$ \lambda(t)=\frac{f(t)}{R(t)}\tag{1056.4} $$

修理系

repairable elementのVesely故障率$\lambda_V(t)$は、Christiane Cocozza-Thivent他の論文"The Failure Rate in Reliability. Numerical Treatment"の(1.2)式によれば、

$$\lambda_V(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\lim_{dt\downarrow 0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid \eta_t\in\mathcal{M}\}}{dt} \tag{1056.5}$$

であり、(1056.5)を一次展開すれば、 $$ \Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid\eta_t\in\mathcal{M}\}=\lambda_V(t)dt+o(dt)\tag{1056.6} $$

となります。次に無条件瞬間ダウン強度$h(t)$の定義式は、

$$ h(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim_{dt\downarrow 0} \frac{\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\}}{dt} \tag{1056.7} $$

であり、(1056.7)を一次展開すれば、 $$ \Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\}=h(t)dt+o(dt)\tag{1056.8} $$

となります。また、point availability$A(t)$は、

$$A(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M}\}\tag{1056.9}$$

で表されます。ここで(1056.6)に条件付き確率の公式を用いれば、(1056.8)及び(1056.9)より、

$$ \Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid \eta_t\in\mathcal{M}\} =\frac{\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\}}{\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M}\}} =\frac{h(t)}{A(t)}dt+o(dt) \tag{1056.10} $$

であることから、(1056.6)、(1056.10)の右辺の比較により、

$$ \lambda_V(t)=\frac{h(t)}{A(t)}\tag{1056.11} $$

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