TIのプレゼン資料においても同様のPMHFの誤解を発見しました。これも以前の記事で指摘したように、PMHF式の誤り論文$\dagger$が波及したのかもしれません。図520.1は表紙です。

資料中のPMHF計算の誤りを図520.2に示します。

図520.2の部分を拡大します。

$\dagger$Y. Chang, L. Huang, H. Liu, C. Yang and C. Chiu, "Assessing automotive functional safety microprocessor with ISO 26262 hardware requirements," Technical Papers of 2014 International Symposium on VLSI Design, Automation and Test, Hsinchu, 2014, pp. 1-4, doi: 10.1109/VLSI-DAT.2014.6834876.

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表519.1に弊社代表の投稿した論文の実績と予定を示します。

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本日(2022/9/27)レビュー結果を受領しました。

表518.1はRAMS 2023正式採択までのマイルストーンであり、今後適宜更新します。

今年のRAMSはレビューが遅れ、当初9/1までにレビュー結果を受領する予定が、途中で確認したところ9/Mとのことでした。実際にはさらに遅れ、本日9/27に受領しました。ところが改訂版の締め切りは10/9と延期していないようです。

ただし、レビュー結果のコメントは2件とも非常に評価が高く、それは良かった点です。レビュー#1はコメントが無いようです。

Review # 2
Comments for the AUTHOR:
Paper is well written and acceptable.
(以下省略)

Review # 3
Comments for the AUTHOR:
The paper is very well-written, synthetic and interesting. It provides new developments concerning the probabilistic metric for random hardware failures formula present in the first two editions of the standard ISO 26262 on functional safety of electrical and/or electronic systems within road vehicles.
(以下省略)

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記事#482の続きです。

RAMS 2023のプログラムが発表されました。弊社の投稿した論文の枠は、E01(Reliability Modeling 1, グリーンで表示), 2023/1/23の10:15からとのことです。

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表493.1はRAMS 2023正式採択までのマイルストーンであり、今後適宜更新します。

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PMHFの導出の前提には2通りあります。具体的には、1st SMによって検出され、VSG抑止されたフォールト(MPF detected fault)に関して、

• MPF detected faultをlatent faultとする
• MPF detected faultを直ちに修理する

の2通りの立場があります。規格にはMPF detected faultの処置について明確に書かれていないので、従来はLFとするとしていました。この前提に基づき2020 RAMS論文を投稿しています。

ところが、これだとLFMの定義と矛盾するので、その矛盾の解消のため、2番目の立場を採用した2022 RAMS論文(IEEE未収録)を投稿しました。

後者のまとめの記事は記事#374に書きましたが、前者をまとめていませんでしたので、以下に表を用いてまとめます。元になる表と導出法は、それぞれ表375.1及び表368.2と記事#376です。

$$ \text{ただし、} \begin{cases} \alpha:=\frac{1}{2}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau]\\ \beta:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{MPF}\tau\right]\\ K_\text{MPF}:=K_\text{IF,MPF}+K_\text{SM,MPF}-K_\text{IF,MPF}K_\text{SM,MPF} \end{cases}\\ \begin{cases} \begin{eqnarray} 非冗長系の時は\color{red}{K_\text{IF,det}}&=&1\\ 冗長系の時は\color{red}{K_\text{IF,det}}&=&0, K_\text{IF,RF}=1\\ \end{eqnarray} \end{cases} $$

表492.1に対して、非冗長系、冗長系のKパラメータを上記に示すとおり代入した表を表492.2及び表492.3に示します。

非冗長系

$$ M_\text{PMHF,NRD}=\bbox[#ccffff,2pt]{(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+2K_{\text{IF,RF}}\alpha}\\ =(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_{\text{IF,RF}}\lambda_{\mathrm{IF}}\lambda_{\mathrm{SM}}[(1-K_{\mathrm{SM,MPF}})T_\text{lifetime}+K_{\mathrm{SM,MPF}}\tau] \tag{492.1}$$

(492.1)に関しては後者の記事、#374との違いは係数2の違いとなります。

冗長系

$$M_\text{PMHF,RD}=\bbox[#ccffff,2pt]{2\beta}=\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{MPF}\tau\right]\tag{492.2}$$

(492.2)に関しては後者の記事、#374との違いはありません。その理由は、冗長系においてはMPF detected faultが存在しないためです。

$\dagger$規格式1: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第1式の条件。ブログの図367.1)において、IFが後にフォールトする場合=(a)SPF、(b)SPF及び(c)DPF。(d)DPFはSMが後にフォールトする場合なので対象外
$\dagger$規格式3: 規格第1版 Part 10-8.3.3の第3式の条件。ブログの図367.1)において、IF, SMのフォールトの順を問わない場合=(a)SPF、(b)SPF、(c)DPF及び(d)DPF。

RAMS 2022においてMPF detectedの再考に基づくPMHF式の論文発表が終了したため、秘匿部分を開示します。

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ストレートフォワード

そもそもIFとSM1のコンビネーションの確率全体を求め、以下の

　①IF⇒IF
　②IF⇒SM1
　③SM1⇒IF
　④SM1⇒SM1

①～④の和から①と④を引いたのですが、各々を求められるのであれば、DPFの対象は異なるエレメントのフォールトの組み合わせなので、②と③の和で良いはずです。

従って、②のPMHFは記事#489を参照して、 $$ M_\text{PMHF,DPF,IF⇒SM1} =\text{Pc}^\text{1R}\{\mathrm{(IF\cup SM)\ up/down}\} \cdot\frac{Q_\text{IF}(t)}{Q_{\text{IF}\cup\text{SM}}(t)}\cdot\text{Pc}^\text{2U}\{\text{SM down}\}\\ \approx\frac{K_\text{IF,RF}}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}[(1-K_\mathrm{DPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{DPF}\tau] \tag{491.1} $$

また③のPMHFも同様に $$ M_\text{PMHF,DPF,SM1⇒IF} \approx\frac{K_\text{IF,RF}}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}[(1-K_\mathrm{DPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{DPF}\tau] \tag{491.2} $$ 従って、PMHFのDPF部分は、(491.1)及び(491.2)を加えて $$ \require{cancel} \begin{eqnarray} M_\text{PMHF,DPF}&=&M_\text{PMHF,DPF,IF⇒SM1}+M_\text{PMHF,DPF,SM1⇒IF}\\ &＝&(\bcancel{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM})\frac{K_\text{IF,RF}}{\bcancel{2}}[(1-K_\mathrm{DPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{DPF}\tau]\\ &＝&K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}[(1-K_\mathrm{DPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{DPF}\tau] \end{eqnarray} \tag{491.3} $$ これは過去記事で求めた、(222.9)のPMHF値のDPF項と完全に一致します。

さらに、2021年論文のようにLFMと互換性のあるPMHFを考えるのであれば、IFのMPFフォールトはレイテントにならずに直ちに修理されると考えると、DPFのケースは③のみとなります。従って、PMHFは $$ \begin{eqnarray} M_\text{PMHF,DPF} &\approx&\frac{K_\text{IF,RF}}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}[(1-K_\mathrm{DPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{DPF}\tau] \end{eqnarray} \tag{491.4} $$

となります。ただし、非冗長系においてはIFのフォールトは即時修理され、レイテントとならないことから$K_\text{IF,MPF}=0$となるので、これを代入すれば、$K_\text{MPF}=K_\text{SM,MPF}$となり、(491.4)は、

$$ \begin{eqnarray} M_\text{PMHF,DPF} &\approx&\frac{K_\text{IF,RF}}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}[(1-K_\mathrm{SM,DPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{SM,DPF}\tau] \end{eqnarray} \tag{491.5} $$ となります。

なお、本稿はRAMS 2023に投稿中のため一部を秘匿していますが、論文公開後の2023年2月頃に開示予定です。RAMS 2023が終了したため、秘匿部分を開示します。

確率コントリビューションの稿 完■

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過剰確率の調整

しかしながら前稿の注※確率調整で示すように、ユニオンエレメントに関して解いて得られたPMHF(488.6)は余分な場合を2パターン含みます。余分な場合とはユニオンが2回フォールトする時、

　①IFのフォールトに引き続いてIFがフォールトする
　②SM1のフォールトに引き続いてSM1がフォールトする

となる場合が含まれるため、そのPMHFを差し引く必要があるからです。

すると、①のPMHFは(489.5)であり、 $$ M_\text{PMHF,DPF,IF⇒IF}＝ \frac{K_\text{IF,RF}}{2}\lambda_\text{IF}^2[(1-K_\mathrm{DPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{DPF}\tau] \tag{490.1} $$ また②のPMHFも同様に(489.8)であるため、 $$ M_\text{PMHF,DPF,SM⇒SM}＝\frac{K_\text{IF,RF}}{2}\lambda_\text{SM}^2[(1-K_\mathrm{DPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{DPF}\tau] \tag{490.2} $$ 従って、PMHFのDPF部分は、(488.6)から(490.1)及び(490.2)を差し引いて、 $$ \begin{eqnarray} M_\text{PMHF,DPF}&=&M_{\text{PMHF,DPF,IF}\cup\text{SM}}-M_\text{PMHF,DPF,IF⇒IF}-M_\text{PMHF,DPF,SM⇒SM}\\ &＝&[(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})^2-\lambda_\text{IF}^2-\lambda_\text{SM}^2]\frac{K_\text{IF,RF}}{2}[(1-K_\mathrm{DPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{DPF}\tau]\\ &＝&K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}[(1-K_\mathrm{DPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{DPF}\tau] \end{eqnarray} \tag{490.3} $$ これは過去記事で求めた、(222.9)のPMHF値のDPF項と完全に一致します。このように、得られた方程式に対して別の角度から整合性のある解釈ができることは、大変に面白いだけでなく方程式の妥当性を裏付けるものと考えます。

また、確率コントリビューションの考えから1st editionの式を出発点として、2nd editionの式ではなく、2020年論文の式が導出されることも大変興味深い事実です。

なお、本稿はRAMS 2023に投稿中のため一部を秘匿していますが、論文公開後の2023年2月頃に開示予定です。RAMS 2023が終了したため、秘匿部分を開示します。

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IFとSMのユニオンエレメント$\text{IF}\cup\text{SM}$を考えます。PMHFのDPFに関する第1確率コントリビューションは、 $$ \text{Pc}^\text{1R}\{\mathrm{(IF\cup SM)\ up/down}\}: \tag{489.1} $$ となり、第2確率コントリビューションは、 $$ \text{Pc}^\text{2U}\{\text{(IF}\cup\text{SM) down}\}:=K_\text{IF,RF}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})T_\text{lifetime} \tag{489.2} $$ と定義されます。これらの積からDPFのPMHFを作成したいのですが、問題は以下の2つのケースを除く必要があることです。

　①IFのフォールトに引き続いてIFのフォールト、及び、
　②SM1のフォールトに引き続いてSM1のフォールト

理由は、同じエレメントの引き続くフォールトではDPFとならないからです。それぞれの確率コントリビューションのマルコフ図は、

図489.1において、OPR⇒LAT⇒OPRを繰り返している間はIF$\cup$SM、すなわちIFかSMかのいずれかのフォールトが起きますが、LAT⇒DPFの遷移の場合のみ、IFがダウンしている場合にIFのフォールトが起きる事象です。

従って、合成エレメントの第1確率コントリビューションの$\text{Pc}^\text{1R}$は$\text{IF}\cup\text{SM}$の最後の状態において、$\text{IF}\cup\text{SM}$の不信頼度のところを、IFのみの不信頼度に減らす必要があります。他方、第2確率コントリビューションの$\text{Pc}^\text{2U}$は、エレメントはIFのみとすれば良いわけです。従って、減少分も含めた第1確率コントリビューションは、時刻$t$で第2フォールトが起きるとして、 $$ \require{color} \definecolor{yellow}{rgb}{1.0,1.0,0.7} \require{cancel} \text{Pc}^\text{1R}\{\mathrm{(IF\cup SM)\ up/down}\}\cdot\bbox[#ffffcc,2pt]{\frac{Q_\text{IF}(t)}{Q_{\text{IF}\cup\text{SM}}(t)}} \approx\text{Pc}^\text{1R}\{\mathrm{(IF\cup SM)\ up/down}\}\bbox[#ffffcc,2pt]{\frac{F_\text{IF}(t)}{F_{\text{IF}\cup\text{SM}}(t)}}\\ \approx(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})[(1-K_\mathrm{DPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{DPF}\tau] \bbox[#ffffcc,2pt]{\frac{\lambda_\text{IF}\bcancel{t}}{\lambda_\text{IF}\bcancel{t}+\lambda_\text{SM}\bcancel{t}}}\\ =\bcancel{(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})}[(1-K_\mathrm{DPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{DPF}\tau] \bbox[#ffffcc,2pt]{\frac{\lambda_\text{IF}}{\bcancel{\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM}}}}\\ =\lambda_\text{IF}[(1-K_\mathrm{DPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{DPF}\tau] \tag{489.3} $$ となり、第2確率コントリビューションはIFのみなので、 $$ \text{Pc}^\text{2U}\{\text{IF down}\}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}T_\text{lifetime} \tag{489.4} $$ となります。従って、これらをかけ合わせれば除外するPMHFは、 $$ M_\text{PMHF,DPF,IF⇒IF} =\frac{K_\text{IF,RF}}{2}\lambda_\text{IF}^2[(1-K_\mathrm{DPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{DPF}\tau] \tag{489.5} $$ となります。

全く同様に、SM⇒SMに関する確率コントリビューションのマルコフ図は、

同様に、減少分も含めた第1確率コントリビューションは、 $$ \require{cancel} \text{Pc}^\text{1R}\{\mathrm{(IF\cup SM)\ up/down}\}\cdot\bbox[#ffffcc,2pt]{\frac{Q_\text{SM}(t)}{Q_{\text{IF}\cup\text{SM}}(t)}}\\ \approx\lambda_\text{SM}[(1-K_\mathrm{DPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{DPF}\tau] \tag{489.6} $$ となり、第2確率コントリビューションはSMのみなので、 $$ \text{Pc}^\text{2U}\{\text{SM down}\}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime} \tag{489.7} $$ となります。従って、これらをかけ合わせれば除外するPMHFは、 $$ M_\text{PMHF,DPF,SM⇒SM} =\frac{K_\text{IF,RF}}{2}\lambda_\text{SM}^2[(1-K_\mathrm{DPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{DPF}\tau] \tag{489.8} $$ となります。

なお、本稿はRAMS 2023に投稿中のため一部を秘匿していますが、論文公開後の2023年2月頃に開示予定です。RAMS 2023が終了したため、秘匿部分を開示します。

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IFとSM1のユニオン

ここまでは1st editionと同様、IFUモデル、つまりSM1がリペアラブル、IFがアンリペアラブルでした。ここからは2nd editionに対応するべく、IFRモデル、つまりSM1もIFもリペアラブルで考えます。

ここで、IFとSM1のユニオンのIF$\cup$SMを考えます。2つのユニオンと見ると、1回のダウンでは不稼働にならず、2回ダウンして初めて不稼働となります。図488.1で考えるとLAT状態ではIFもSM1もリペアラブルですが、リペアされないうちに再度フォールトが起きるとDPFに移行します。従って、最初のIF$\cup$SMのフォールトはリペアラブル、2番目のIF$\cup$SMのフォールトはアンリペアラブルです。

これにより、SM1とIFの両方がリペアラブルであっても、$e1$⇒IF$\cup$SM、$e2$⇒IF$\cup$SMと置き換えることによりIFUモデルのCTMCを用いることができます。※確率調整：ただし、最後のIFの次にIFのフォールトと、SMの次にSMのフォールトでDPFになる場合は除く必要があります。

ユニオンの第1確率コントリビューション

まずユニオンエレメントの故障率を計算します。ユニオンエレメントの故障率は、 $$ \lambda_\mathrm{IF\cup SM}= \lambda_\mathrm{IF}+\lambda_\mathrm{SM} \tag{488.1} $$ となります。証明は過去記事#484で記載しています。

次に、ユニオンに対する見逃し率は、IFに対する2nd SMとSMに対する2nd SMの両方が見逃す率であるため、過去記事#485で証明したとおり(488.3)は $$ \Pr\{\overline{\mathrm{(IF\cup SM)\ detected}}\}=(1-K_\text{IF,DPF})(1-K_\text{SM,DPF}) \tag{488.2} $$ となります。これよりユニオンに対する検出率$K_\text{DPF}$は、 $$ K_\text{DPF}:=\Pr\{\mathrm{(IF\cup SM)\ detected}\}\\= 1-(1-K_\text{IF,DPF})(1-K_\text{SM,DPF})=K_\text{IF,DPF}+K_\text{SM,DPF}-K_\text{IF,DPF}K_\text{SM,DPF}\tag{488.3} $$ となります。これらにより、第1確率コントリビューションは(488.5)において$e1$⇒$\text{IF}\cup\text{SM}$と置き換えた後(488.1)、(488.3)を用いて $$ \text{Pc}^\text{1R}\{\mathrm{(IF\cup SM)\ up/down}\}\\ =\lambda_\mathrm{(IF\cup SM)}\left[\Pr\{\overline{\mathrm{(IF\cup SM)\ detected}}\}T_\text{lifetime}+\Pr\{\mathrm{(IF\cup SM)\ detected}\}\tau\right]\\ =(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\left[(1-K_\mathrm{DPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{DPF}\tau\right] \tag{488.4} $$ となります。

ユニオンの第2確率コントリビューション

第2確率コントリビューションは(488.5)において$e2$⇒$\text{IF}\cup\text{SM}$と置き換えた後(488.1)を用いて、 $$ \require{cancel} \text{Pc}^\text{2U}\{\text{(IF}\cup\text{SM) down}\}=\Pr\{(\text{IF}\cup\text{SM})\text{ prevented}\}\lambda_{(\text{IF}\cup\text{SM})}T_\text{lifetime}\\ =K_{\text{(IF}\bcancel{\cup\text{SM)}}\text{,RF}} \lambda_{\text{(IF}\cup\text{SM)}} T_\text{lifetime}=K_\text{IF,RF}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})T_\text{lifetime} \tag{488.5} $$ SM1にはSPFもRFも無いことを用いています。

PMHF計算

以上から、(488.2)は(488.4)及び(488.5)の積を用いて、 $$ \begin{eqnarray} M_{\text{PMHF,DPF,IF}\cup\text{SM}} &=&\frac{1}{2T_\text{lifetime}}\text{Pc}^\text{1R}\{\text{(IF}\cup\text{SM) up/down}\} \cdot\text{Pc}^\text{2U}\{\text{(IF}\cup\text{SM) down}\}\\ &=&\frac{1}{2\bcancel{T_\text{lifetime}}}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})[(1-K_\mathrm{DPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{DPF}\tau]\\ & &\quad\cdot K_\text{IF,RF}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})\bcancel{T_\text{lifetime}}\\ &=& \frac{K_\text{IF,RF}}{2}(\lambda_\text{IF}+\lambda_\text{SM})^2[(1-K_\mathrm{DPF})T_\text{lifetime}+K_\mathrm{DPF}\tau] \tag{488.6} \end{eqnarray} $$ となりそうですが、上記※確率調整を考慮する必要があります。

なお、本稿はRAMS 2023に投稿中のため一部を秘匿していますが、論文公開後の2023年2月頃に開示予定です。RAMS 2023が終了したため、秘匿部分を開示します。

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