Posts Issued on October 16, 2018

posted by sakurai on October 16, 2018

ISO/TR 12489:2013(E)において、信頼性用語の定義がまとめてあるため、それを記載します。ただし、弊社の考えを交えており、そのまま引用しているわけではありません。以下に$X_{item}$をアイテム$item$の無故障運転継続時間(failure free operating time)とするとき、

☆信頼度(Reliability)

$$ R_{item}(t):=\Pr\lbrace\text{item not fail in }(0, t]\rbrace=\Pr\lbrace\mathrm{item\ up\ at\ }t\rbrace=\Pr\lbrace t\lt X_{item}\rbrace $$ 非修理系システムで、時刻$t$までに一度も故障していない確率。非修理系なので、一度でも故障すると故障しっぱなしになるため、一度も故障していない確率です。

☆不信頼度(Unreliability)

$$ F_{item}(t):=\Pr\lbrace\mathrm{item\ failed\ in\ }(0, t]\rbrace=\Pr\lbrace\mathrm{item\ down\ at\ }t\rbrace=\Pr\lbrace X_{item}\le t\rbrace $$ 非修理系システムで、時刻$t$までに故障する確率。非修理系なので、一度でも故障すると故障しっぱなしになるため、時刻が0からtまでに故障したことがある確率です。等号は有っても無くても値は変わりません。

☆故障密度(Probability Density, PDF)

$$ f_{item}(t):=\lim_{dt \to 0}\frac{\Pr\lbrace\mathrm{item\ failed\ in\ }(t, t+dt]\cap\mathrm{item\ up\ at\ } t\rbrace}{dt}=\frac{dF_{item}(t)}{dt} $$ 又は、微小故障確率形式として、 $$ f_{item}(t)dt=\Pr\lbrace t\lt X_{item}\le t + dt\rbrace $$ 非修理系システムで、時刻$t$で、単位時間あたりに故障する確率。正確には、時刻$t$から$t+dt$までに故障する微小確率を$dt$で割り、単位時間あたりに直したもの。PDF(Probability Density Function)。

【証明】 条件付き確率公式及び、確率の加法定理を用いて、 $$ f_{item}(t):=\lim_{dt \to 0}\frac{\Pr\lbrace t\lt X_{item}\le t + dt\rbrace}{dt} \\ =\lim_{dt \to 0}\frac{\Pr\lbrace t\le X_{item}\rbrace + \Pr\lbrace X_{item}\le t + dt\rbrace - \Pr\lbrace t\le X_{item} \cup X_{item}\le t + dt\rbrace}{dt} \\ =\lim_{dt \to 0}\frac{R(t)+F(t+dt)-1}{dt}=\lim_{dt \to 0}\frac{F(t+dt)-F(t)}{dt}=\frac{dF_{item}(t)}{dt} $$

☆(瞬間)故障率(Failure Rate)

$$ \lambda_{item}(t):=\lim_{dt \to 0}\frac{\Pr\lbrace\mathrm{item\ failed\ in\ }(t, t+dt]\ |\ \mathrm{item\ up\ at\ } t\rbrace}{dt}=\frac{f_{item}(t)}{R_{item}(t)} $$ 非修理系システムで、時刻$t$で稼働している条件において、単位時間あたりに故障する条件付き確率。正確には、時刻$t$から$t+dt$までに故障する条件付き確率を$dt$で割り、単位時間あたりとしたもの。ISO 26262の場合は、確率分布が指数分布のため、故障率は定数です。

【証明】 条件付き確率の式及び、上記$f_{item}(t)$の式を用いて $$ \lambda_{item}(t):=\lim_{dt \to 0}\frac{\Pr\lbrace X_{item}\le t+dt \cap t \le X_{item}\rbrace}{dt}\frac{1}{\Pr\lbrace t \le X_{item}\rbrace}=\frac{f_{item}(t)}{R_{item}(t)} $$

☆稼働度(Availability)

$\mathcal{M}$を稼働状態のサブセットとし、$\mathcal{P}$を不稼働状態のサブセットとすれば、 $$ A_{item}(t):=\Pr\lbrace\mathrm{item\ up\ at\ }t\rbrace=\Pr\lbrace\eta_{t}\in\mathcal{M}\rbrace $$ 修理系システムで、時刻$t$で稼働している確率。Point Availablity。

☆不稼働度(Unavailability)

$$ Q_{item}(t):=\Pr\lbrace\mathrm{item\ down\ at\ }t\rbrace=\Pr\lbrace\eta_{t}\in\mathcal{P}\rbrace $$ 修理系システムで、時刻$t$で不稼働な確率。

☆不稼働密度(Unavailability Density, PUD)

$$ q_{item}(t):=\lim_{dt \to 0}\frac{\Pr\lbrace\mathrm{item\ down\ at\ }t + dt\cap\mathrm{item\ up\ at\ } t\rbrace}{dt} =\frac{dQ_{item}(t)}{dt} $$ 又は、微小不稼働確率形式として、 $$ q_{item}(t)dt=\Pr\lbrace\mathrm{item\ down\ at\ }t + dt\cap\mathrm{item\ up\ at\ } t\rbrace=\Pr\lbrace\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\cap \eta_{t}\in\mathcal{M}\rbrace $$ 修理系システムで、時刻$t$で単位時間あたりに不稼働になる確率。正確には、時刻$t$から$t+dt$までに不稼働になる微小確率を$dt$で割り、単位時間あたりに直したもの。Point Unavailability Density (PUD)。failure frequency (故障頻度), unconditional failure intensity (UFI; 無条件故障強度)。

☆PFH(Probability of Failure per Hour)

注意:Probablity of Failure per Hourは古い定義で現在はaverage failure frequency (平均故障頻度), average unconditional failure intensity (平均無条件故障強度)。PMHFも同様の定義。average unavailability density (平均不稼働密度; AUD)
$$ PFH:=\overline{q_{item}}=\frac{1}{T}\int_0^T q_{item}(t)dt=\frac{1}{T}Q_{item}(T)=\frac{1}{T}\Pr\lbrace\mathrm{item\ down\ at\ }T\rbrace =\frac{1}{T}\Pr\lbrace\eta_{T}\in\mathcal{P}\rbrace, ただしTは車両寿命 $$

☆(瞬間)ダウン率(Down Rate)

$$ \varphi_{item}(t):=\lim_{dt \to 0}\frac{\Pr\lbrace\mathrm{item\ down\ at\ }t + dt\ |\ \mathrm{item\ up\ at\ }t\rbrace}{dt}=\frac{q_{item}(t)}{A_{item}(t)} $$ 又は、微小ダウン確率形式として、 $$ \varphi_{item}(t)dt=\Pr\lbrace\mathrm{item\ down\ at\ }t + dt\ |\ \mathrm{item\ up\ at\ } t\rbrace=\Pr\lbrace\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\ |\ \eta_{t}\in\mathcal{M}\rbrace $$ 修理系システムで、時刻$t$で稼働している条件において、単位時間あたりに不稼働になる条件付き確率。正確には、時刻$t$から$t+dt$までに不稼働になる条件付き確率を$dt$で割り単位時間あたりとしたもの。conditional failure intensity (条件付き故障強度), Vesely failure rate (Veselyの故障率)。

☆平均ダウン率(Average Down Rate, ADR)

$ADR:=\overline{\varphi_{item}}$の存在を仮定し、$\varphi_{item}(t)A_{item}(t)=q_{item}(t)$の両辺を$0$から$T$まで積分すれば、 $$\int_0^T\overline{\varphi_{item}}A_{item}(t)dt=\int_0^T q_{item}(t)dt$$ ここで、$\int_0^T A(t)dt\approx T$を用いれば、 $$ADR=\overline{\varphi_{item}}\approx\frac{1}{T}\int_0^T q_{item}(t)dt=\frac{1}{T}Q_{item}(T)=\frac{1}{T}\Pr\lbrace\mathrm{item\ down\ at\ }T\rbrace=M_{PMHF}$$

これは結果的としてPFHと同じになりますが、FSマイクロではPMHFはADRであると考え、PFHであるとは考えていません。その理由はエンジニアにとって故障率$\lambda$は大変なじみのある値で、それを修理系に拡張したダウン率$\varphi(t)$やその車両寿命における平均値ADRを算出するのが自然ですが、不稼働密度$q(t)$の平均値を算出するのは不合理であるためです。故障確率という意味では、むしろ密度よりもアイテムの車両寿命における不稼働確率$Q(T)$を知りたいところですが、なぜ密度の平均値を知りたいのでしょう?


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